Анатолий Николаевич Моксяков родился 19 сентября 1943 года в селе Старочернеево Рязанской области.По первому образованию - горный инженер, в 1962 году окончил Нижнетагильский горнометаллургический техникум, затем работал в Новосибирске в тресте «Запсибзолото» в должности инженера проектно-конструкторского отдела.
В 1963 году поступил в Новосибирское театральное училище, где под руководством заслуженного артиста РСФСР Н.П.Платонова получил базовое вокальное образование, училище закончил с отличием.
С 1965 года параллельно с обучением работал солистом в Новосибирском театре оперетты.
В 1968 году поступил сразу на второй курс Московской государственной консерватории, где учился у выдающегося певца, профессора Александра Иосифовича Батурина.
Во время учёбы в консерватории Моксяков стал лауреатом V Всесоюзного конкурса вокалистов имени М.И.Глинки и сделал свою первую запись для фондов радио - оперетту «Корневильские колокола» Р.Планкетта (Маркиз де Корневиль).
В 1972 году Моксяков окончив с отличием консерваторию и выбрал работу в вокальной студии Гостелерадио СССР,
где записал в фонд множество опер, оперетт, вокальных циклов, романсов, песен, из которых многие были изданы на грампластинках.
Моксяков работал со многими коллективами и оркестрами страны, выступал на главных концертных площадках СССР, участвовал во многочисленных телевизионных концертах.
В 1982 году певец был вынужден прекратить творческую карьеру из-за болезни.